​非线性微分方程(非线性微分方程公式)

非线性微分方程(非线性微分方程公式)

非线性微分方程

选自quantamagazine

作者：Steve Nadis

机器之心编译

编辑：赵阳

黑洞可能举例不是球形的？我们的宇宙也可能不是四维的？近日，量子杂志刊发了来自石溪分校研究者们的最新成果，我们的宇宙可能存在更多的维度！

在三维空间中，黑洞的表面一定是球体。但是一项新的研究结果微分方程表明，在更高稳定性的维度中，可能其形状存在无限多的可能。

如果我们能偏发现非球形黑洞，这将表明我们的宇宙具有超过三个维度的空间。

宇宙似乎偏爱圆形的东西。行星和恒星往往是球体，因为重力将气体和尘埃云拉向质心。这同样适用于黑洞，或者更准确地说，黑洞根据理论必须在具有三个空间维度和一个时间维度的宇宙中呈球形。

但微分方程是，如果我们的宇宙有更高的维度，同样的理论限制是否适用呢？就像有时假设的那样，是不是存在我们看不见但其影响仍然存在的维度？在那些情况下，其他黑洞形状是否是可能的？数学告诉我们，后一个问题的答案是肯定的。在过去二十年里，非线性微分方程求解，研究人员偶尔会发现将黑洞限制在球形规则的例外情况。

最近，一篇新论文《Black Lenses in Kaluza-Klein Matter》在这方面做出了进展，来自纽约州立大学石溪分校的两位研究者通过全面的数学证明表明，在五维及更高维度中黑洞可能存在无限数量的形状。本文证明了阿尔伯特・爱因斯坦的举例广义相对论方程可以产生各种奇特的高维黑洞例子。

论文地址线性化：https://arxiv.org/pdf/2212.06762.pdf

这项新工作是纯理论性的，它并没有告诉我们自然界中是否存在这样的黑洞。但是，如果我们以某种方式探测到这种形状奇特的黑洞，也许是粒子对撞机碰撞的微观产物。「这将自动表明我们的宇宙是高维的，」作者之一、纽约州立大学石溪分校的 Marcus Khuri 说道。「所以现在要等着看我们的实验是否能检测到任何相关的东西。」

黑洞求解「甜甜圈」

与许多关于黑洞的故事一样，这个故事始于史蒂芬区分霍金。具体来说，他在 1972 年证明了黑洞的表面在一个固定的时刻必须是区分一个二维球体 。虽然黑洞是三维物体，但其表面只有两个空间维度。

直到 20 世纪的 80 年代和 90 年代，非线性微分方程零解的稳定性，人们才开始考虑扩展霍金定理。当时人们对弦理论的热情高涨，这个想法可能需要 10 或者 11 个维度的存在。物理学家和数学家随后开始认真考虑这些额外维度对黑洞拓扑可能意味着什么。

黑洞是爱因斯坦非线性方程中最令人费解的预测之一，即 10 个判断相互关联的非线性微分方程，处理起来极具挑战性。一般来说，它们只能在高度对称是什么且因而简化的情况下明确求解。

2002 年，即霍金的结果发表三年后，现在分别在巴塞罗那大学和剑桥大学的物理学家 Roberto Emparan 和 Harvey Reall发现了爱因斯坦方程在五个维度（四个空间维度加一个时间维度）的高度对称黑洞解。Emparan 和 Reall 称这个物体为「黑环」，它是一个具有甜甜圈一般轮廓的三维表面。

很难在五维空间中描绘一个三维表面，所以请大家现在脑海中想象一个普通的圆。对于那个圆上的每个点，我们都可以用一个二维球体代替。这种圆形和球体组合的结果是一个三维物体，非线性微分方程和线性微分方程，可以被认为是一个实心的、块状的甜甜圈。

原则上，如果它们以合适的速度旋转，就会形成这种甜甜圈状的黑洞。「如果旋转得太快，它们就会分裂，如果旋转得不够快，它们就会变回球状，」作者之一、拓扑学家 Jordan Rainone 说道。Emparan 和 Reall 找到了一个最佳点：他们的圆环旋转速度刚好足以保持甜甜圈的状态。

了解这一结果给 Rainone 带来了希望微分方程，他表示稳定性，「如果每颗行星、恒星和黑洞都像一个球，那我们的宇宙就是一个无聊的地方。」

新的专注点

2006 年，非球形黑洞宇宙理论真正开始开花结果。那一年，迈阿密大学的 Greg Galloway 和斯坦福大学的 Richard Schoen 推广了霍金的理论，描述了黑洞在四维以上空间可能呈现的所有形状，包括球体、上文的「甜甜圈」以及一大类被称为棱镜空间的物体。棱镜空间是一种特殊类型的数学结构，长久以来在几何学和拓扑学中都很重要。

Khuri 表示，「在宇宙可能在三维度上抛给我们的所有的可能的形状中，球体是最简单的，棱镜空间是次简单的情况。」

Marcus Khuri

Khuri 认为棱镜空间通解是「折叠起来的球体」，将一个球体以一种非常复杂的方式折叠起来。要了解其工作原理，请从一个更简单的形状开始 —— 圆形，将它分成上下两半，然后将下半部分的每个点移动到上半部分与其截然相反的点。剩下的只有上半圆和两个对映点，半圆两端各有例子一个。这些必须相互粘在一起，形成一个较小的圆形，其圆周为原始圆周的一半。

接下来把问题移动到线性二维形态下，事情开始变得复杂起来。从一个二维球体（即一个空心球）开始，将下半部分的每个点向上移动，使其接触上半部分的对映点，这样就只剩下上半球了。但是中纬线上的点也必须彼此能够「识别」，并且由于需要所有的交叉点，最终的表面将变得非常扭曲。

当数学家提及棱镜空间时，他们通常指的是区分线三维空间下的场景。让我们从最简单的示例开始，一个包含表面点和内部点的实心球体。从北极到南极沿着经线跨越地球。在这种情况下，将地球分成两个半球（例如东半球和西半球），只能选两条经线，然后就可以找到一个半球上的点在另一个半球上的对映点。

Merrill Sherman/Quanta Magazine

但是也可以有更多的经线和许多不同的方式来连接划分出的扇区。数学家用符号 L (p， q) 在棱镜空间中指代这些变量，其中 p 代表地球被划分为多少扇区，而 q 代表这些扇区如何彼此识别。记为 L (2， 1) 的棱镜空间表示两个扇区（或半球区分线），只有一种方法可以映射这些点，即一一对应。

如果地球通解被分成更多部分，就有更多的方法。例如，在 L (4， 3) 的棱镜空间中有四个扇区，每个上扇区与其下扇区匹配求解：上扇区 1 到下扇区 4，上扇区 2 到下扇区 1 等。「人们可以将此 [过程] 视为扭转顶部，以在底部找到正确的结合位置，其中扭曲的量由 q 决定。」Khuri 这样说道。随着更多扭曲的出现，最终的形状会变得越来越复杂。

麦克马斯特大学的数学区分物理学家 Hari Kunduri 表示，「人们有时会问我『如何想象这些东西？』呢，答案是我不知道。我们只例子是在数学上处理是什么这些对象，这表明了抽象偏的力量。它可以让你在不画图的情况下工作通解。」

形态各异的公式黑洞非线性

2014 年，非线性微分方程是偏微分方程吗，爱丁堡大学的 Kunduri 和 James Lucietti在五维度空间上证明了 L (2， 1) 型黑洞的存在。

他们称之为「黑棱镜」的 Kunduri-Lucietti 解具有几个重要特征。该解描述了一个「渐近平坦」的时空，这意味着时空的曲率在黑洞附近很高，非线性微分方程是什么意思，趋近于无穷大。此特性有助于确保结果具有物理相关性。「构造黑棱镜并不难，困难的部分是实现，这需要使时空在无穷远处平坦。」Kunduri 指出。

正如旋转可以防止 Emparan 和 Realall 的黑环自行塌陷一样，Kunduri-Lucietti 黑棱镜也必须旋转。但 Kunduri 和 Lucietti 还使用了一种「物质」场零解（在这种情况下可以是一种电荷），将这些棱镜固定在一起。

在 2025 年 12 月的论文《Black Lenses in Kaluza-Klein Matter》中，Khuri 和 Rainone 尽可能地概括了 Kunduri-Lucietti 的解。他们首先证明了具有线性棱镜拓扑 L (p， q) 的五维黑洞的存在，对于任何大于或等于 1 的 p 和 q 值，只要 p 大于 q，则 p 和 q 没有共同的质因子。

Jordan Rainone，最近刚从石溪分校博士毕业稳定性。

随后他们进一步发现，对于任何 p 和 q 值以及在任何更高维度上，都可以产生任何棱镜空间形状的黑洞，这意味着在无限多维中产生无限多可能的黑洞。需要注意的是，Khuri 指出：「当达到五维以上时，棱镜空间只是整个拓扑结构的一部分。」黑洞比它所包含的已经具有视觉挑战性的棱镜空间还要复杂。

Khuri-Rainone 的黑洞可以旋转举例，但不是必须旋转，他们的解也适用于渐近平坦的时空。然而还需要一种稍微不同的物质场，即一种由与更高维度相关的粒子组成的物质场，既用来保持黑洞的形状，并防止出现会影响结果的缺陷或不规则现象。就像「甜甜圈」一样，他们构建的黑棱镜具有两个独立的旋转对称性（在五维空间上），使爱因斯坦方程更容易求解。「这是一个简化的假设，但并非不合理。没有它，我们就不会有这篇论文。」Rainone 表示。

Kunduri 也认为「这是非常好的开创性工作」，证明了 Galloway 和 Schoen 提出的所有可能性微分方程都可以明确实现。

Khuri 和 Rainone 提出的策略给 Galloway 留下了特别深刻的印象。为了证明给定 p 和 q 的五维黑棱镜的存在，他们首先将黑洞嵌入更高维的时空中零解，在那里更容易证明它的存在，部分是因为有更多的空间可以让黑洞四处移动。接下来，他们将时空收缩到五个维度，同时公式保持所需的拓扑结构不变。「这是个好主意，」Galloway 说道。

Khuri 和 Rainone 理论的伟大之处在于「它非常通用，可以同时适用于所有可能性」。至于下一步，Khuri 已经开始研究棱镜黑洞解是否可以存在并在无物质场支持线性化的真空中保持稳定。Lucietti 和 Fred Tomlinson 在 2025 年 1 月发表的一篇论文《On the nonexistence of a vacuum black lens》［2］得出的结论是不可能，的确需要某种物质场。但是，他们的论点不是基于数学证明的，而是基于计算证据。「所以这仍然是一个悬而未决的问题，」Khuri 说道。

同时，非线性微分方程有哪些，一个更大的谜团正在逼近。「我们真的生活在更高维度的领域里吗？」Khuri 问道。物理学家线性预测，有朝一日我们可以在大型强子对撞机或另一个能量更高的粒子加速器上产生微小的黑洞。如果加速器产生的黑洞可以在其短暂的、几分之一秒的生命周期内被探测到并被观察到具有非球形拓扑稳定性结构，这将证明我们的宇宙不只具有三个空间维度和一个时间维度。

这样的发现可以解决另一个更具学术性的问题，「广义相对论传统上是什么这是一个四维理论。」在探索有关五维及以上维度黑洞的想法时，他表示，「我们打赌广义相对论在更高维度中有效。如果检测到任何奇异的 [非球形] 黑洞，那将说明我们为其下注的行为是合理的。」

［1］：https://arxiv.org/abs/2212.06762

［2］：https://arxiv.org/abs/2012.00381